POTENCIACIÓN Y LEYES DE LOS EXPONENTES

Exponente, término utilizado en matemáticas para indicar el número de veces que una cantidad se ha de multiplicar por sí misma. Un exponente se escribe normalmente como un pequeño número o letra en la parte superior derecha de la expresión, como x^2, leído “x al cuadrado” y que representa
x·x; (x + y)^3, se lee “x + y al cubo” y significa (x + y) (x + y) (x + y); y sen^4x, que se lee “seno de x a la cuarta potencia” y que expresa que el seno de x debe multiplicarse por sí mismo cuatro veces. En los cálculos, los exponentes siguen ciertas reglas llamadas leyes de los exponentes. Es decir, si m y n son enteros positivos,

Xn =
n= Exponente, X= Base

Primera Ley: Si multiplicamos potencias de la misma base(distinta de cero), se escribe la base y los exponentes se suman.
Ejemplos:
Formula Primera Ley
X^n • X^m= X^n+m

10^2 • 10^3 = 10^5
10^(1/2) • 10^(2/3) = 10^(7/6)
1/2 + 2/3 = 3+4/6 = 7/6
9^3*9^2 = 9^(3+2) = 9^5

Segunda Ley: Si dividimos potencias de la misma base, se escribe la base y los exponentes se restan.

Ejemplos:
Formula Segunda Ley
X^n / X^m= X^(n-m)

10^(3)/10 = 10^(3-1)=10^2
10^(1/2) • 10^(5/3) = 10^(-7/6)
1/2 – 5/3 = 3-10/6 = -7/6


Tercera Ley: Si elevamos una potencia a otra, se escribe la base y los exponentes se multiplican

Ejemplos:
Formula tercera ley
(X^m)^n = X^(n • m)

(10^(2))^3 = 10^6
(a^(1/3))^3 = a
1/3 – 3/1 = 3/3 = 1

* el 1 no se escribe y queda como a


Cuarta Ley: Para extraer raíz enésima a una potencia, se coloca la base y se coloca por exponente la división o cociente de el exponente de la potencia entre el indice del radical.

Ejemplos
Formula Cuarta Ley
n √x^(m) = X^(m/n)

√10^(6) = 10^(6)/12= 10^3

3√ 27^(6) = 3x^(2)

3•3•3 = 27

* el 1 no se escribe y queda como a


* Nota: Para extraer raíz enésima o elevar a una potencia enésima un número racional se opera por separado el numerador del denominador.

Ejemplos
Formula
(a/b)^2 = a^2/ b^2

(2/3)^2 = 2^(2)/3^(2)= 4/9

3√27/8 = 3√27 / 3 √8 =3/2

Números Fraccionarios

Si dividimos un objeto o unidad en varias partes iguales, a cada una de ellas, o a un grupo de esas partes, se las denomina fracción. Las fracciones están formadas por dos números: el numerador y el denominador.

Tipos de fracciones:


EJEMPLOS:
SUMA Y RESTA DE FRACCIONES
Con igual denominador: en este se deja el denominador común es decir se pasa igual ,y los númeradores se suman o restan dependiendo del caso.7/4+6/4 = 7+6/4 ->7 y 6 se suman da = 13 y se pone sobre 4 el denominador común.entonces queda 13/4.
- 6/9 + 2/9 + 4/9 = 6+2+4/9 = 12/9
- 2/7 + 3/7 =2+3/7=5/7.
- 5/6 - 1/6 = 4/6(simplifica)=2/3
- 13/4 + 7/4 -2/4 =13+7-2/4 =18/4 (simplifica)=9/2
- 28/8 - 6/8 + 2/8 =28-6+2/8 =24/8(simplifica)=6/2
- 12/12 - 9/12 = 17-9/12 =8/12 = 2/3
- 4/5 - 1/5 = (-4)-(+1)/5 (se multiplican los signos)= (-4)-1/5 .Luego se suman por que - * - = + y se coloca el signo del mayor porque se trata de suma y resta, pero si fuera multiplicación se coloca el signo que de, sin importar el mayor o menor número .-5/5 = -1
- (-17)/8 - (-4)/8 = (-17)-(-4)/8 =(-17)+4/8 = -13/8

Con diferente denominador:en este como los denominadores son diferentes se saca el mínimo común múltiplo(m.c.m).
- 2/4 + 3/7->el mcm(4 , 7) =28 porque 4*7=28 ,luego se divide 28 entre 4= 7 y este se multiplica por 2 =14,lo mismo se hace con el 7;28 dividido 7=4 y este se multiplica por 3,4*3=12.Queda asi:14 + 12/28 = 26/28.
- 7/3 + 1/5;mcm (3, 5)=15,entonces se hace lo mismo como en la anterior 35+3/15= 38/15
- 1/4 + 1/3 = 1(3) + 4(1)/(4)(3) = 3 + 4 /12 = 7/12
- 7/30 + 3/10 + 10/15 + 31/5. mcm(30,10,15,5)=30
esto sale de la división del mcm entre los denominadores,y elresultado de este multiplicado por los numeradores <- 7+9+20+186/30= 222/30 (se simplifica)=111/15 =37/5.

- 2/3 - 1/4 = 8-3/12 .mcm(3,4)=12
- 7/20 + 13/15 - 1/5 .mcm(20,15,5)=60 --> 21+52-12/60 = 73-12/60=61/60
- 6/1 - 4/2-20/6.mcm(1,2,6)=6--> 36-12-20/6 = 4/6
- 10/4 - 3/9 + 3/12. mcm(4,9,12)=12 --> 30-4+3/12 = 29/12.
- 7/8 - (-1)/4 .mcm(8,4)= 8--->7-(-2)/8 =7+2/8 =9/8
-(-2)/21 + (-1)/77 + 5/11 - 9/7 .mcm(21,77,11,7)=231 --->(-22)+(-3)+105-297/231 =
-22-3+105-297/231 = -217/231 (se simplifica se saca séptima)= -31/33.
- (-16)/21 - (-1)/3 + (-1)/7 + 2/1 - (3/14).mcm(21,3,7,1,14)=42--> -32 -(-14)-( -6) + 84 -9/42 = -32+14+6+84-9/42 = 63/42 (simplifica, se saca tercera)--> 21/14

MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONARIOS
Para multiplicar dos fracciones el procedimiento es muy sencillo: se multiplica el numerador de la primera fracción por el numerador de la segunda y se anota en el resultado en el lugar correspondiente al numerador.
Se multiplican los denominadores y se anotan en el resultado en el lugar del denominador.
- 2/9 * 3/12 = (2*3)/(9*12) = (1*3)/(9*6) = (1*1)/(3*6) = 1/18
- 3/4 * 2/9 * 5/2 = 3*2*5/4*9*2 =30/72 (simplifica)--> 5/12.
- (-4/6)(12/3) = -48/18 (simplifica)se le saca sexta = -8/3.
-Cuando tenemos una fraccion mixta en la multiplicación hay que convertirlo a una fracción impropia así:(5 + 3/4)(-1/7),entonces primero se resuelve la mixta (5 + 3/4) de esata forma--> 5 se multiplica por 4 y en este caso se suma con 3 ( 5*4=20 ,20 +3= 23) queda así=(23/4).entonces ya resuelta esta se sigue asi con la ecuacion del inicio (23/4)(-1/7)= -23/28

DIVISIÓN DE FRACCIONARIOS
Su procedimiento es asi;se multiplica el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda y se anota el resultado en el lugar correspondiente al numerador.
Después se multiplica el denominador de la primera por el numerador de la segunda y se anotan el resultado en el lugar del denominador.( en forma de X)
- 2/9 ÷ 1/3 =(2*3)/(9*1)= 6/9
- 2/9 ÷ 3/7 =(2*7)/(9*9)= 14/27
-División con igual denominador se multiplica en cruz, luego númerador con númerador y denominador con denominadory espues y .3/7 ÷ 2/7 = 3/7 * 7/2 = 21/14 ÷ 7/7 =3/2
-3/8 ÷ 11/12 = 3/8 × 12/11 = 3/2 × 3/11 = 9/22.

CONTRIBUCIÓN DE POLYA

Este personaje contribuyo generalizando su método de estudio matemático en los siguientes cuatro pasos:

1. Entender el problema.
2. Configurar un plan
3. Ejecutar el plan
4. Mirar hacia atrás

Donde se puede presentar un breve resumen de cada uno de ellos:
Paso 1: Entender el Problema.
1.- ¿Entiendes todo lo que dice?
2.- ¿Puedes replantear el problema en tus propias palabras?
3.- ¿Distingues cuáles son los datos?
4.- ¿Sabes a qué quieres llegar?
5.- ¿Hay suficiente información?
6.- ¿Hay información extraña?
7.- ¿Es este problema similar a algún otro que hayas resuelto antes?
Paso 2: Configurar un Plan.
¿Puedes usar alguna de las siguientes estrategias? (Una estrategia se define como un artificio ingenioso que conduce a un final).
1.- Ensayo y Error (Conjeturar y probar la conjetura).
2.- Usar una variable.
3.- Buscar un Patrón
4.- Hacer una lista.
5.- Resolver un problema similar más simple.
6.- Hacer una figura.
7.- Hacer un diagrama
8.- Usar razonamiento directo.
9.- Usar razonamiento indirecto.
10.- Usar las propiedades de los Números.
11.- Resolver un problema equivalente.
12.- Trabajar hacia atrás.
13.- Usar casos
14.- Resolver una ecuación
15.- Buscar una fórmula.
16.- Usar un modelo.
17.- Usar análisis dimensional.
18.- Identificar sub-metas.
19.- Usar coordenadas.
20.- Usar simetría.

Paso 3: Ejecutar el Plan.
1.- Implementar la o las estrategias que escogiste hasta solucionar completamente el problema o hasta que la misma acción te sugiera tomar un nuevo curso.
2.- Concédete un tiempo razonable para resolver el problema. Si no tienes éxito solicita una sugerencia o haz el problema a un lado por un momento (¡puede que se te prenda el foco cuando menos lo esperes!).
3.- No tengas miedo de volver a empezar. Suele suceder que un comienzo fresco o una nueva estrategia conducen al éxito.

Paso 4: Mirar hacia atrás.
1.- ¿Es tu solución correcta? ¿Tu respuesta satisface lo establecido en el problema?
2.- ¿Adviertes una solución más sencilla?
3.- ¿Puedes ver cómo extender tu solución a un caso general?

EL METODO DE MIGUEL DE GUZMAN

Este gran matemático nos ofreció un método para guiarnos en el razonamiento productivo en la resolución de problemas matemáticos.
Por eso Miguel de Guzmán nos abre su mente y nos explica paso a paso su proceso educativo para poder solucionar correctamente un problema. Además nos propone lo siguiente, para que seamos corregidos y hagamos exactamente lo mismo:
1ro-Seguir un protocolo que consiste en ir anotando en una hoja los cálculos, los razonamientos y las sensaciones. Esto debe hacerse a intervalos regulares de tiempo. Así:
A los 3 minutos de examinar el enunciado podemos escribir las primeras impresiones: Pensando que:
-El problema será fácil o difícil.
-Entretenido o no.
-Requerirá muchos cálculos o no.
- Que utilizaremos fórmulas conocidas o habrá que buscarlas.
-Conocemos problemas parecidos o no.
-Tendrá varias soluciones o es posible que no tenga solución.
A los 10 minutos escribimos sobre la primera estrategia ensayada:
- Se usa trigonometría.
-Se descompone en problemas más sencillos.
- Hay un caso más simple que es fácil de resolver.
- Hay que utilizar coordenadas y ecuaciones….
Durante todo el periodo de resolución cada 5 ó 10 minutos se deben escribir las impresiones, los caminos seguidos, incluidos con los que han llevado a fracasos y por qué.
En el caso de llegar a alguna solución anotar:
- El grado de satisfacción.
-La dificultad
- Las herramientas usadas: teoremas y resultados previos, programas de ordenador, gráficas, esquemas…
- Desde la solución ¿se ve algún otro método más sencillo y elegante para alcanzarla?
-Preguntas, conjeturas y generalizaciones.
El propósito de este método es facilitar la corrección del profesor, aunque ya de por sí y antes de que llegue a él, nos sirve para ordenar nuestro pensamiento y de contrastarlo con el de nuestras compañeras.

Conceptos

ANALIZAR:
Es examinar algo con detención y detalladamente, hasta sus últimos componentes; es decir dividir la totalidad de una información en distintas partes y considerarlas por separado.Esto implica aislar datos, buscar, descomponer, diferenciar, distinguir.

SINTETIZAR:
Es extractar lo fundamental de una información y luego redactar un nuevo texto empleando palabras propias e integrando lo más importante. En la construcción de este nuevo texto se pueden relacionar las ideas principales empleando conectores.

EXTRAPOLAR:
Es cuando se interpreta o compara un dato con otro ,extrayendo u obteniendo conclusiones.

INTERPRETAR:
Es proponer un significado para expresiones determinadas o comprender y explicar el sentido de una cosa.

Números divisibles del 2 al 6

Divisibilidad por 2

Un número es divisible por 2 cuando termina en CERO o cifra par.
Ejemplos:
-El número 50 es divisible por 2,Porque termina en CERO.
-El número 24 es divisible por 2,Porque termina en cifra par.
-El número 420 es divisible por 2,Porque termina en CERO.

Divisibilidad por 3

Un número es divisible por 3 cuando la suma de los valores absolutos de sus cifras es múltiplo de 3.
Ejemplos:
-El número 12 es divisible por 3,Porque la suma de 1 + 2 es múltiplo de 3.
-El número 60 es divisible por 3,Porque la suma de 6 + 0 es múltiplo de 3.
-El número 243 es divisible por 3,Porque la suma de 2 + 4 + 3 es múltiplo de 3


Divisibilidad por 4

Un número es divisible por 4 si sus dos últimas cifras son ceros o forman un múltiplo de 4.
Ejemplos:
-El número formado por los dos últimos dígitos del número 3628 es 28, que es exactamente divisible por 4 entonces el número 3628 es exactamente divisible por 4.
-100, es múltiplo de 4, porque acaba en 00.
-324 es múltiplo de 4, porque 24 es múltiplo de 4.
-25.816 es múltiplo de 4, porque 16 es múltiplo de 4.

Divisibilidad por 5

Un número es divisible por 5 cuando termina en cero o cinco.
Ejemplos:
-El número 10 es divisible por 5,Porque termina en CERO.
-El número 35 es divisible por 5 ,Porque termina en cinco.
-El número 425 es divisible por 5,Porque termina en cinco.

Divisibilidad por 6

Un número es divisible por 6, si lo es simultáneamente por 2 y 3.
Ejemplos:
-El número 12 es divisible por 6,Porque termina en cifra par y 1 + 2 es múltiplo de 3-El número 96 es divisible por 6,Porque termina en cifra par y 9 + 6 es múltiplo de 3- El número 240 es divisible por 6,Porque termina en cifra cero y 2 + 4 + 0 es múltiplo de 3.