C (C; r) = {P tal que = r}
Dimensión de la circunferencia:
Centro de la circunferencia: punto del que equidistan todos los puntos de la circunferencia.
Radio de la circunferencia: segmento que une el centro de la circunferencia con cualquier punto de la misma.
Cuerda de la circunferencia: segmento que une dos puntos de la circunferencia, el radio es perpendicular a la cuerda en su punto medio.
Diámetro de la circunferencia: es una cuerda que pasa por el centro. Es la cuerda que mayor tamaño tiene.
Arco de la circunferencia: es la porción de circunferencia limitada por dos puntos de la misma, también se puede decir que es cada una de las partes en que una cuerda divide a la circunferencia.
Posiciones relativas de dos circunferencias:
Circunferencias exteriores: son las que no tienen ningún punto en común y cada una esta en una región exterior a la otra.
Circunferencias interiores: no tienen ningún punto en común y una está en la región interior de la otra.
Circunferencias tangentes exteriores: tienen un punto en común y los demás puntos de cada una de ellas están en la región exterior de la otra.
Circunferencias tangentes interiores: tienen un punto en común y los demás puntos de una de ellas están en la región interior de la otra.
Circunferencias secantes: tienen dos puntos en común.
Circunferencias concéntricas: no tienen ningún punto en común, una esta en el interior de la otra y tienen el mismo centro pero distinto radio.
Posiciones relativas de una recta y una circunferencia
Una recta puede estar respecto a una circunferencia:
Recta exterior: cuando no tiene ningún punto común con la circunferencia.
Recta tangente: a la circunferencia cuando tiene un punto común
Recta secante: a la circunferencia cuando tiene dos puntos comunes .
Ángulos de la circunferencia:
Ángulo central: es el ángulo que tiene su vértice en el centro y sus lados lo forman dos radios.
-Si dos ángulos centrales son iguales también lo son los arcos correspondientes.
-La medida de un arco central es la misma que la de su ángulo central correspondiente.
Ángulo inscrito: es aquel que tiene su vértice en la circunferencia y sus lados son secantes a ella.
-La medida de un ángulo inscrito es igual a la mitad del arco que abarca.
Ángulo semi-inscrito: es aquel que tiene su vértice en un punto de la circunferencia y un lado es tangente y el otro secante a ella.
-La medida de un ángulo semi-inscrito es la mitad del arco que abarca.
Ángulo interior: es aquel que tiene su vértice en un punto interior del circulo. Sus lados con cuerdas de la circunferencia.
-Un ángulo interior mide la mitad de la suma de las medias de su arcos que abarcan su lados y las prolongaciones de los mismos.
Ángulo exterior: es aquel que tiene su vértice en un punto fuera de la circunferencia y del circulo y su lados son secantes o tangentes de la circunferencia.
-La medida de un ángulo exterior es la mitad de la diferencia de los arcos que abarca el ángulo.
Es decir (fórmula de la distancia).
Centro de la circunferencia: punto del que equidistan todos los puntos de la circunferencia.
Radio de la circunferencia: segmento que une el centro de la circunferencia con cualquier punto de la misma.
Cuerda de la circunferencia: segmento que une dos puntos de la circunferencia, el radio es perpendicular a la cuerda en su punto medio.
Diámetro de la circunferencia: es una cuerda que pasa por el centro. Es la cuerda que mayor tamaño tiene.
Arco de la circunferencia: es la porción de circunferencia limitada por dos puntos de la misma, también se puede decir que es cada una de las partes en que una cuerda divide a la circunferencia.
Posiciones relativas de dos circunferencias:
Circunferencias exteriores: son las que no tienen ningún punto en común y cada una esta en una región exterior a la otra.
Circunferencias interiores: no tienen ningún punto en común y una está en la región interior de la otra.
Circunferencias tangentes exteriores: tienen un punto en común y los demás puntos de cada una de ellas están en la región exterior de la otra.
Circunferencias tangentes interiores: tienen un punto en común y los demás puntos de una de ellas están en la región interior de la otra.
Circunferencias secantes: tienen dos puntos en común.
Circunferencias concéntricas: no tienen ningún punto en común, una esta en el interior de la otra y tienen el mismo centro pero distinto radio.
Posiciones relativas de una recta y una circunferencia
Una recta puede estar respecto a una circunferencia:
Recta exterior: cuando no tiene ningún punto común con la circunferencia.
Recta tangente: a la circunferencia cuando tiene un punto común
Recta secante: a la circunferencia cuando tiene dos puntos comunes .
Ángulos de la circunferencia:
Ángulo central: es el ángulo que tiene su vértice en el centro y sus lados lo forman dos radios.
-Si dos ángulos centrales son iguales también lo son los arcos correspondientes.
-La medida de un arco central es la misma que la de su ángulo central correspondiente.
Ángulo inscrito: es aquel que tiene su vértice en la circunferencia y sus lados son secantes a ella.
-La medida de un ángulo inscrito es igual a la mitad del arco que abarca.
Ángulo semi-inscrito: es aquel que tiene su vértice en un punto de la circunferencia y un lado es tangente y el otro secante a ella.
-La medida de un ángulo semi-inscrito es la mitad del arco que abarca.
Ángulo interior: es aquel que tiene su vértice en un punto interior del circulo. Sus lados con cuerdas de la circunferencia.
-Un ángulo interior mide la mitad de la suma de las medias de su arcos que abarcan su lados y las prolongaciones de los mismos.
Ángulo exterior: es aquel que tiene su vértice en un punto fuera de la circunferencia y del circulo y su lados son secantes o tangentes de la circunferencia.
-La medida de un ángulo exterior es la mitad de la diferencia de los arcos que abarca el ángulo.
ECUACIÓN ANALÍTICA DE LA CIRCUNFERENCIA
Supóngase que el centro C tiene coordenadas (h, k) respecto a un sistema ortogonal de ejes x-y con origen 0 y que el radio es r. Sea P (x, y) un punto de la C (C; r) .
Entonces:
__
Supóngase que el centro C tiene coordenadas (h, k) respecto a un sistema ortogonal de ejes x-y con origen 0 y que el radio es r. Sea P (x, y) un punto de la C (C; r) .
Entonces:
__cp =r
Es decir,
raiz de (x-h)^2+(y-k)^2 = r^2
Por lo tanto:
(x-h)^2+(y-k)^2 = r^2
Así que C(C(h, k); r) = {P(x, y) ÎR2/ (x – h)2 + (y – k)2 = r2} y la ecuación (1) representa la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto C(h, k) y de radio r.
Si C está en el origen, h = k = 0 y la ecuación de la C(o; r) es x^2 + y^2 = r^2.
La C(0, 5) tiene por ecuación: x^2 + y^2 = 25. (1)
Es decir,
raiz de (x-h)^2+(y-k)^2 = r^2
Por lo tanto:
(x-h)^2+(y-k)^2 = r^2
Así que C(C(h, k); r) = {P(x, y) ÎR2/ (x – h)2 + (y – k)2 = r2} y la ecuación (1) representa la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto C(h, k) y de radio r.
Si C está en el origen, h = k = 0 y la ecuación de la C(o; r) es x^2 + y^2 = r^2.
La C(0, 5) tiene por ecuación: x^2 + y^2 = 25. (1)
El punto A(3, 4) ÎC(0, 5) ya que:
3^2 + 4^2 = 25
De (1) se deduce que: y= + ó - raiz de 25-x^2
Lo que muestra que:
para todo x Î [-5, 5], el punto
3^2 + 4^2 = 25
De (1) se deduce que: y= + ó - raiz de 25-x^2
Lo que muestra que:
para todo x Î [-5, 5], el punto
(x,+ raiz de 25 -x^2) está en la semicircunferencia superior y que
para todo x Î [-5, 5], el punto
para todo x Î [-5, 5], el punto
(x, - raiz de 25 -x^2)
está en la semicircunferencia inferior.
está en la semicircunferencia inferior.
Ejercicios:
Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el origen y tiene su centro en el punto común a las rectas: x+3y-6=0 y x-2y-1=0.
Si D denota el diámetro de la circunferencia, entonces, el radio r es 
Es decir (fórmula de la distancia).
Ahora, las coordenadas del centro C(h, k) son las coordenadas del punto medio del segmento
___
p1p2.
p1p2.
Asi que: 
y 
y 
Luego, la ecuación de la circunferencia pedida es:
--Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(0, 6), B(4, -2) y C(9, 3).Encuentre las coordenadas del centro y el radio.
No hay comentarios:
Publicar un comentario