La Circunferencia

La circunferencia es una curva plana cerrada formada por todos los puntos del plano que equidistan de un punto interior, llamado centro de la circunferencia. La distancia común se llama radio. Así que si C es el centro y r > 0 es el radio, la circunferencia de centro C y radio r que denotaremos ðC(C;r) es el conjunto siguiente:
C (C; r) = {P tal que = r}

Dimensión de la circunferencia:
Centro de la circunferencia: punto del que equidistan todos los puntos de la circunferencia.
Radio de la circunferencia: segmento que une el centro de la circunferencia con cualquier punto de la misma.
Cuerda de la circunferencia: segmento que une dos puntos de la circunferencia, el radio es perpendicular a la cuerda en su punto medio.
Diámetro de la circunferencia: es una cuerda que pasa por el centro. Es la cuerda que mayor tamaño tiene.
Arco de la circunferencia: es la porción de circunferencia limitada por dos puntos de la misma, también se puede decir que es cada una de las partes en que una cuerda divide a la circunferencia.
Posiciones relativas de dos circunferencias:
Circunferencias exteriores: son las que no tienen ningún punto en común y cada una esta en una región exterior a la otra.
Circunferencias interiores: no tienen ningún punto en común y una está en la región interior de la otra.
Circunferencias tangentes exteriores: tienen un punto en común y los demás puntos de cada una de ellas están en la región exterior de la otra.
Circunferencias tangentes interiores: tienen un punto en común y los demás puntos de una de ellas están en la región interior de la otra.
Circunferencias secantes: tienen dos puntos en común.
Circunferencias concéntricas: no tienen ningún punto en común, una esta en el interior de la otra y tienen el mismo centro pero distinto radio.
Posiciones relativas de una recta y una circunferencia
Una recta puede estar respecto a una circunferencia:
Recta exterior: cuando no tiene ningún punto común con la circunferencia.
Recta tangente: a la circunferencia cuando tiene un punto común
Recta secante: a la circunferencia cuando tiene dos puntos comunes .
Ángulos de la circunferencia:
Ángulo central: es el ángulo que tiene su vértice en el centro y sus lados lo forman dos radios.
-Si dos ángulos centrales son iguales también lo son los arcos correspondientes.
-La medida de un arco central es la misma que la de su ángulo central correspondiente.
Ángulo inscrito: es aquel que tiene su vértice en la circunferencia y sus lados son secantes a ella.
-La medida de un ángulo inscrito es igual a la mitad del arco que abarca.
Ángulo semi-inscrito: es aquel que tiene su vértice en un punto de la circunferencia y un lado es tangente y el otro secante a ella.
-La medida de un ángulo semi-inscrito es la mitad del arco que abarca.
Ángulo interior: es aquel que tiene su vértice en un punto interior del circulo. Sus lados con cuerdas de la circunferencia.
-Un ángulo interior mide la mitad de la suma de las medias de su arcos que abarcan su lados y las prolongaciones de los mismos.
Ángulo exterior: es aquel que tiene su vértice en un punto fuera de la circunferencia y del circulo y su lados son secantes o tangentes de la circunferencia.
-La medida de un ángulo exterior es la mitad de la diferencia de los arcos que abarca el ángulo.

ECUACIÓN ANALÍTICA DE LA CIRCUNFERENCIA
Supóngase que el centro C tiene coordenadas (h, k) respecto a un sistema ortogonal de ejes x-y con origen 0 y que el radio es r. Sea P (x, y) un punto de la C (C; r) .
Entonces: __

cp =r
Es decir,
raiz de (x-h)^2+(y-k)^2 = r^2
Por lo tanto:
(x-h)^2+(y-k)^2 = r^2
Así que C(C(h, k); r) = {P(x, y) ÎR2/ (x – h)2 + (y – k)2 = r2} y la ecuación (1) representa la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto C(h, k) y de radio r.
Si C está en el origen, h = k = 0 y la ecuación de la C(o; r) es x^2 + y^2 = r^2.
La C(0, 5) tiene por ecuación: x^2 + y^2 = 25. (1)

El punto A(3, 4) ÎC(0, 5) ya que:
3^2 + 4^2 = 25
De (1) se deduce que: y= + ó - raiz de 25-x^2
Lo que muestra que:
para todo x Î [-5, 5], el punto

(x,+ raiz de 25 -x^2) está en la semicircunferencia superior y que
para todo x Î [-5, 5], el punto

(x, - raiz de 25 -x^2)
está en la semicircunferencia inferior.

Ejercicios:

Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el origen y tiene su centro en el punto común a las rectas: x+3y-6=0 y x-2y-1=0.

Si D denota el diámetro de la circunferencia, entonces, el radio r es

Es decir (fórmula de la distancia).

Ahora, las coordenadas del centro C(h, k) son las coordenadas del punto medio del segmento

___
p1p2.

Asi que: y

Luego, la ecuación de la circunferencia pedida es:

--Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(0, 6), B(4, -2) y C(9, 3).Encuentre las coordenadas del centro y el radio.

_

__

Parábola

La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz.
Elementos de la parábola:
_Directriz Es la recta fija d.
_Parámetro Es la distancia del foco a la directriz, se designa por la letra p.
_Eje Es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco.
_Vértice Es el punto de intersección de la parábola con su eje.
_Radio vector Es un segmento que une un punto cualquiera de la parábola con el foco.