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Considere la función f definida por

Su representación gráfica es la siguiente:

Puede observarse que cuando x toma el valor de -2 entonces la función tiene un valor máximo. En este caso (-2,3) es precisamente el vértice de la parábola con ecuación: .

Según el teorema anterior debe cumplirse que f ´(-2) es igual a cero.

En efecto ,

, al sustituir x por -2 se obtiene que ,

era lo que quería comprobarse.

Un rectángulo tiene 120 m. de perímetro. Cuáles son las medidas de los lados del rectángulo que dan el área máxima?

Se debe maximizar el área A de un rectángulo:

Designemos con "x", "y" las longitudes de los lados del rectángulo. Luego A=xy

Como el perímetro del rectángulo es 120 m. entonces la ecuación auxiliar es:

de donde

luego,

como

entonces x=30 es un valor máximo.

Si X=30 entonces Y=30 por lo que un cuadrado de lado 30 es el rectángulo de mayor área y perímetro 120m.

Un faro se encuentra ubicado en un punto A, situado a 5 Km. del punto más cercano O de una costa recta. En un punto B, también en la costa y a 6 Km. de O, hay una tienda. Si el guardafaros puede remar a 2km/h y puede cambiar a 4k/h , dónde debe desembarcar en la costa, para ir del faro a la tienda en el menor tiempo posible?

Se debe minimizar el tiempo de recorrido
Gráficamente la situación es la siguiente:

Sea C el punto de la playa en el que desemboca el guarda faros, designemos con x la distancia OC.

d1es la distancia en que debe remar desde A hasta C

d2 es la distancia en que debe caminar desde C hasta B

Note que

Además se tiene que la distancia S recorrida en un tiempo t es igual a la velocidad por el tiempo: o sea;

de donde

La distancia d1 es recorrida con una velocidad de 2km/h , y la distancia d2 con una velocidad de 4km/h , por lo que el tiempo total de recorrido será:

siedo esta función a minimizar.Luego

Para determinar los valores críticos hacemos t´(x)=0

Utilicemos el criterio de la segunda derivada para determinar si el valor crítico es un mínimo.

evaluando en

se obtiene

por lo que el valor minimo es

Luego, el guarda faros debe desembarcar en un punto C que está a $\sqrt{\displaystyle\frac{5}{3}}$ Km. de punto C, para llegar a la tienda en el menor tiempo .

La virulencia de cierta bacteria se mide en una escala de 0 a 50 y viene expresada por la función V(t)= 40+15t-9t^2+t^3, donde t es el tiempo(en horas) transcurrido desde que comienzo en estudio (t=0). Indicar los instantes de máxima y mínima virulencia en las 6 primeras horas y los intervalos en que esta crece y decrece.Para que la función tenga un máximo o un mínimo la derivada debe ser cero.

V´(t)= 15-18t+3t^2, igualando a 0, 3t^2-18t+15=0
Simplificando t^2-6t+5=0, cuyas soluciones son 5 y 1.
Ahora voy a ver quien es el máximo y quien el mínimo de la función, en el intervalo [0, 6], que tiene que estar entre estos dos valores junto o en los extremos del intervalo (por el teorema de Weirtrars).
Ordenamos la función V por comodidad, V(t)= t^3-9t^2+15t+40

V(0)=40
V(5)=125-225+75+40 =15
V(1)=1-9+15+40= 47
V(6)=216-324+90+40=22
La máxima virulencia es a las 1 horas y la mínima a las 5 horas.
Para ver los intervalos de crecimiento y decrecimiento estudiamos el signo de la derivada:
V’(t)=3t^2-18t+15

___0___1________5____6_
v´ + 0 - 0 +
Luego V crece desde 0 a 1 y desde 5 a 6, (crece en (0, 1) unión (5, 6) ) y decrece en el intervalo (1, 5)

Observando la gráfica de esta función vemos lo q hemos deducido.

Un coche de competición se desplaza a una velocidad que, entre las 0 y 2 horas, viene dada por la expresión v(x)= (2-x).e^x, donde x es el tiempo en horas y v(x) es a velocidad en cientos de kilómetros. Hallar en que momento del intervalo (1,2)circula a la velocidad máxima y calcular dicha velocidad. ¿En que periodos gano velocidad y en cuales redujo? ¿Se detuvo alguna vez?

Nos piden q estudiemos el crecimiento y decrecimiento y el máximo de la función velocidad v.
Por eso utilizamos la derivada, ya que sabemos (por teoría) que si la derivada da positiva la función crece y si da negativa decrece. También sabemos que, la función tiene un máximo relativo en un punto, si la derivada, en ese punto, es 0 (condición necesaria) y además cambia el crecimiento (es decir pasa de crecer a decrecer)
La derivada es:
v’(x)=-1.e^x + e^x.(2-x)= -e^x + 2 e^x- x .e^x = e^x- x. e^x, sacando factor común e^x se llega a: v’(x)=((1-x)e^x
Igualando a 0 nos da (1-x).e^x =0, de donde 1-x =0 y por tanto x =1, (ya q e^x nunca puede ser cero)
Estudiamos v en los alrededores de 1
__v`__ +___ 1___ -___ 2___
y crece decrece
Por lo tanto en x=1 hay máximo y la función crece de 0 a 1 (gana velocidad) y decrece de 1 a 2 (reduce velocidad), veamos los valores en ese punto y en el extremo:La cantidad de agua recogida en 2002 (en millones de litros), en cierto pantano, como función del instante de tiempo t (en meses), viene dada a través de la expresión

Se pide:
a) En que periodo de tiempo aumento la cantidad de agua recogida?
b) En que instante se obtuvo la cantidad máxima de agua?

c) Cual fue esa cantidad máxima?

Teniendo en cuenta la regla de derivación de un cociente:

v(x)= (2-x)e^x
v(1)=(2-1).e = e (aquí el máximo como justificamos antes)
(0)=(2-0).1=2
v(2)=(2-2).1=0 como da la velocidad 0 aquí se detuvo

,su derivada es f `(t)

Y si queremos que sea cero, tiene que ser cero el numerador, de donde t =6
Señalamos el punto 6 en la recta y estudiamos el crecimiento de la función, f, entre 0 y 12 (viendo el signo del numerador solo, pues el denominador siempre es positivo)

__0________6__________12_
f ` + -
Crece hasta el 6 y decrece desde el 6
Por lo tanto en 6 tiene un máximo relativo, que en este caso es absoluto (pues en el infinito da 0) y se tiene:
a) la cantidad aumenta en el periodo de 0 a 6
b) en t =6
c) f(6)=10/1=10

La circunferencia es una curva plana cerrada formada por todos los puntos del plano que equidistan de un punto interior, llamado centro de la circunferencia. La distancia común se llama radio. Así que si C es el centro y r > 0 es el radio, la circunferencia de centro C y radio r que denotaremos ðC(C;r) es el conjunto siguiente:
C (C; r) = {P tal que = r}

Dimensión de la circunferencia:
Centro de la circunferencia: punto del que equidistan todos los puntos de la circunferencia.
Radio de la circunferencia: segmento que une el centro de la circunferencia con cualquier punto de la misma.
Cuerda de la circunferencia: segmento que une dos puntos de la circunferencia, el radio es perpendicular a la cuerda en su punto medio.
Diámetro de la circunferencia: es una cuerda que pasa por el centro. Es la cuerda que mayor tamaño tiene.
Arco de la circunferencia: es la porción de circunferencia limitada por dos puntos de la misma, también se puede decir que es cada una de las partes en que una cuerda divide a la circunferencia.
Posiciones relativas de dos circunferencias:
Circunferencias exteriores: son las que no tienen ningún punto en común y cada una esta en una región exterior a la otra.
Circunferencias interiores: no tienen ningún punto en común y una está en la región interior de la otra.
Circunferencias tangentes exteriores: tienen un punto en común y los demás puntos de cada una de ellas están en la región exterior de la otra.
Circunferencias tangentes interiores: tienen un punto en común y los demás puntos de una de ellas están en la región interior de la otra.
Circunferencias secantes: tienen dos puntos en común.
Circunferencias concéntricas: no tienen ningún punto en común, una esta en el interior de la otra y tienen el mismo centro pero distinto radio.
Posiciones relativas de una recta y una circunferencia
Una recta puede estar respecto a una circunferencia:
Recta exterior: cuando no tiene ningún punto común con la circunferencia.
Recta tangente: a la circunferencia cuando tiene un punto común
Recta secante: a la circunferencia cuando tiene dos puntos comunes .
Ángulos de la circunferencia:
Ángulo central: es el ángulo que tiene su vértice en el centro y sus lados lo forman dos radios.
-Si dos ángulos centrales son iguales también lo son los arcos correspondientes.
-La medida de un arco central es la misma que la de su ángulo central correspondiente.
Ángulo inscrito: es aquel que tiene su vértice en la circunferencia y sus lados son secantes a ella.
-La medida de un ángulo inscrito es igual a la mitad del arco que abarca.
Ángulo semi-inscrito: es aquel que tiene su vértice en un punto de la circunferencia y un lado es tangente y el otro secante a ella.
-La medida de un ángulo semi-inscrito es la mitad del arco que abarca.
Ángulo interior: es aquel que tiene su vértice en un punto interior del circulo. Sus lados con cuerdas de la circunferencia.
-Un ángulo interior mide la mitad de la suma de las medias de su arcos que abarcan su lados y las prolongaciones de los mismos.
Ángulo exterior: es aquel que tiene su vértice en un punto fuera de la circunferencia y del circulo y su lados son secantes o tangentes de la circunferencia.
-La medida de un ángulo exterior es la mitad de la diferencia de los arcos que abarca el ángulo.

ECUACIÓN ANALÍTICA DE LA CIRCUNFERENCIA
Supóngase que el centro C tiene coordenadas (h, k) respecto a un sistema ortogonal de ejes x-y con origen 0 y que el radio es r. Sea P (x, y) un punto de la C (C; r) .
Entonces:

cp =r
Es decir,
raiz de (x-h)^2+(y-k)^2 = r^2
Por lo tanto:
(x-h)^2+(y-k)^2 = r^2
Así que C(C(h, k); r) = {P(x, y) ÎR2/ (x – h)2 + (y – k)2 = r2} y la ecuación (1) representa la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto C(h, k) y de radio r.
Si C está en el origen, h = k = 0 y la ecuación de la C(o; r) es x^2 + y^2 = r^2.
La C(0, 5) tiene por ecuación: x^2 + y^2 = 25. (1)